LÍMITES

 

 BIENVENIDOS

DIMAS ROJANO

INTRODUCCIÓN

Debemos saber que Límites es el tema base del cálculo, por lo que es el primer tema con el que nos toparemos en esta hermosa asignatura. Por lo tanto, es necesario tener algunos conocimientos previos a la hora de estudiar cálculo por lo que se hará una breve introducción sobre dichos conocimientos.

OBJETIVOS

• Comprender el concepto del límite de una función usando sus propiedades.
• Mediante sus propiedades tener una buena resolución de límites algebraicos, trigonométricos, etc.
• Aplicar límites a la hora de graficar una función.
• Relacionar los límites con la vida cotidiana, es decir, resolver problemas teórico-prácticos. Qué saber antes de tomar cálculo

En cierto sentido, el prerrequisito para Cálculo es estar familiarizado con álgebra, geometría y trigonometría. Después de todo, cada tema nuevo en matemáticas se construye sobre temas anteriores, lo que hace que sea tan importante su dominio en cada etapa.

Sin embargo, para quienes han cursado de esas materias, pero buscan un repaso de lo esencial antes de comenzar a estudiar cálculo, esta hoja destaca algunas de las habilidades más cruciales que debes dominar antes de comenzar el curso.

Álgebra

Manipular expresiones

• Aprende a manipular expresiones polinomiales.

  • Sumar: $(x^2 + 2x + 3) + (3x^2 - 3x) = 4x^2 - x + 3$left parenthesis, x, squared, plus, 2, x, plus, 3, right parenthesis, plus, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, x, plus, 3
    • Multiplicar y Factorizar: $(x + 2)(3x - 5) \Leftrightarrow 3x^2 + x - 10$left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 5, right parenthesis, \Leftrightarrow, 3, x, squared, plus, x, minus, 10
• Aprende a resolver ecuaciones lineales sencillas.

  • Por ejemplo, $2x + 3 = 5x - 7$2, x, plus, 3, equals, 5, x, minus, 7.
• Aprende cómo resolver ecuaciones cuadráticas, por ejemplo $2x^2 + 3x - 5 = 0$2, x, squared, plus, 3, x, minus, 5, equals, 0.

  • Completar el cuadrado.
    • Fórmula cuadrática.
• Aprende las propiedades de los exponentes.

  • $x^2 y^2 = (xy)^2$x, squared, y, squared, equals, left parenthesis, x, y, right parenthesis, squared
    • $(2^x)(2^y) = 2^{x + y}$left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, y, end superscript, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, plus, y, end superscript
• Aprende cómo ciertas expresiones son potencias disfrazadas

  • Recíprocos: por ejemplo, $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$start fraction, 1, divided by, x, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 1, end superscript
    • Raíces: por ejemplo, $\sqrt{x} = x^{1/2}$square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript
• Aprende qué son los logaritmos, así como sus propiedades.

  • $y = 2^x$y, equals, 2, start superscript, x, end superscript es lo mismo que $\log_2(y) = x$log, start base, 2, end base, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x.
    • $\log(x) + \log(y) = \log(xy)$log, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, y, right parenthesis.
    • $\log(a^x) = x\log(a)$log, left parenthesis, a, start superscript, x, end superscript, right parenthesis, equals, x, log, left parenthesis, a, right parenthesis.

Funciones

El cálculo se basa en las funciones, por lo que es útil tener un conocimiento fluido sobre estas, saber cómo graficarlas y usar la terminología adecuada para hablar de ellas.

• Aprende qué es una función
• Aprende a representar una función por medio de una gráfica.
• Conoce las gráficas de varias funciones elementales.

  • Funciones lineales
    • Funciones cuadráticas
    • Ten al menos una vaga idea de cómo puede verse la gráfica de un polinomio de grado $n^{\text{}}$n, start superscript, start text, end text, end superscript.
    • Exponenciales.
    • Logaritmos.
• Aprende a manipular funciones.

  • Sumar funciones.
    • Multiplicar funciones.
• También es útil que estés familiarizado con la terminología de las funciones.

  • Dominio.
    • Rango.
    • Funciones pares e impares.
    • Periodicidad.
    • Ceros.
    • Intersecciones con ejes.

Geometría

• Aprende a calcular el área de figuras sencillas.

  • Rectángulos.
    • Triángulos.
    • Trapecios.
    • Círculos
• Aprende a calcular el volumen de figuras tridimensionales sencillas.

  • Cubos.
    • Prismas.
    • Esferas.
• Aprende a pensar sobre la sección transversal de una figura tridimensional.
• Geometría analítica.

  • Razonar sobre puntos, curvas y figuras en el plano coordenado.
    • Ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares..
    • Ecuación de un círculo.

Trigonometría

• Debes sentirte cómodo con cada una de las funciones trigonométricas básicas: $\sin(x)$sine, left parenthesis, x, right parenthesis, $\cos(x)$cosine, left parenthesis, x, right parenthesis y $\tan(x)$tangent, left parenthesis, x, right parenthesis
  • Conoce qué representa cada una.
    • Conoce los valores de cada una de ellas cuando el valor de $x$x es: $0$0, $\dfrac{\pi}{6}$start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, $\dfrac{\pi}{4}$start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, $\dfrac{\pi}{3}$start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, $\dfrac{\pi}{2}$start fraction, pi, divided by, 2, end fraction.
    • Conoce cómo se ven las gráficas de cada una de estas funciones.

Determina cuándo necesitas repasar

El asunto con el cálculo es que tiende a usar ejemplos de todas las áreas de las matemáticas. Mientras que la lista anterior cubre todos los temas con los que debes estar familiarizado antes de comenzar un curso de cálculo, inevitablemente te encontrarás un ejemplo o tema que hace referencia a algún conocimiento requerido.

En un mundo ideal, conocerías a la perfección todo sobre álgebra, geometría y trigonometría. Siendo realistas, hay algunas cosas que no aprendiste perfectamente la primera vez. Es normal que esto ocurra, pero a veces puede ser complicado reconocer cuándo un problema de cálculo es difícil porque no conoces los fundamentos (por ejemplo, el álgebra) o porque es material nuevo (es decir, el cálculo en sí mismo).

Solo asegúrate de preguntarte siempre, ¿tengo un conocimiento sólido de los conceptos para este problema? Si la respuesta es negativa, no temas desviar tu atención del cálculo para revisar algo necesario de álgebra, geometría o trigonometría. Confía en mí, a la larga siempre vale la pena dar un paso atrás antes de seguir adelante

Tomado de: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ap-ab-about/a/ap-calc-prerequisites?modal=1

Aplicación de límites en la ingeniería mecánica

Aplicación de límites en la ingeniería mecánica

Los límites matemáticos se pueden aplicar en procesos mecánicos y eléctricos, en resistencia de materiales, etc.

PROCESOS MECÁNICOS

Foto tomada de: https://steemit.com/spanish/@adiazrojas13/procesos-de-conformado-mecanico

PROCESOS ELÉCTRICOS

Foto tomada de: http://elfisicoloco.blogspot.com/2013/02/generacion-transporte-y-distribucion-de.html

Resistencia de materiales

Imagen tomada de: https://www.tecnologia-industrial.es/tecnologiaindustrial/resistencia-de-los-materiales/

Concepto de límite matemático

Según Wikipedia, en análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

Introducción a límites (artículo)

Los límites describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo.

Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función 

$f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.

El límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 es el valor al cual se aproxima $f$f a medida que nos acercamos más y más a $x=3$x, equals, 3. Gráficamente, es el valor de $y$y al que tendemos en la gráfica de $f$f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde $x=3$x, equals, 3.

Por ejemplo, si partimos del punto $(1,3)$left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de $x=3$x, equals, 3, entonces nuestro valor $y$y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de $5$5.

Similarmente, si empezamos en $(5,7)$left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de $x=3$x, equals, 3, el valor $y$y nuevamente estará muy cerca de $5$5.

Por estas razones, decimos que el límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 es $5$5.

Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de $f$f en $x=3$x, equals, 3 y el valor de $f$f en $x=3$x, equals, 3, es decir, $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis.

Y sí, el límite de $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 en $x=3$x, equals, 3 es igual a $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis, pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función $g$g. Esta función es igual a $f$f, excepto que no está definida para $x=3$x, equals, 3.

Así que el límite de $g$g en $x=3$x, equals, 3 es igual a $5$5, ¡pero el valor de $g$g en $x=3$x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!

Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.

Tenemos también una notación especial para hablar de límites. Así es como escribimos el límite de $f$f cuando $x$x se acerca (o tiende a) $3$3:

$\begin{aligned} \scriptsize\text{"El límite de..."}&\qquad\scriptsize\text{"...la función }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"...cuando }x\text{ tiende a }3\text{."} \end{aligned}$

El símbolo $\displaystyle\lim$limit significa que tomamos el límite de algo. 

La expresión a la derecha de $\displaystyle\lim$limit es la expresión de la cual tomamos el límite. En nuestro caso, se trata de la función $f$f.

La expresión $x\to 3$x, \to, 3 que aparece debajo de $\displaystyle\lim$limit significa que tomamos el límite de $f$f a medida que los valores de $x$x se acercan a $3$3.

En los límites, queremos estar infinitamente cerca.

¿Qué queremos decir con "infinitamente cerca"? Examinemos los valores de $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 a medida que los valores de $x$x se acercan mucho a $3$3. (Recuerda que al hablar de límites no nos interesa $f(3)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis en sí).

$x$x	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis
$2.9$2, point, 9	$4.9$4, point, 9
$2.99$2, point, 99	$4.99$4, point, 99
$\gray{\underbrace{\color{black}{2.999}}_{\text{cerca de }3}}$start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{4.999}}_{\text{cerca de }5}}$start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray

Podemos ver que cuando los valores de $x$x son menores que $3$3, pero se acercan más y más, los valores de $f$f se acercan más y más a $5$5.

$x$x	$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis
$3.1$3, point, 1	$5.1$5, point, 1
$3.01$3, point, 01	$5.01$5, point, 01
$\gray{\underbrace{\color{black}{3.001}}_{\text{cerca de }3}}$start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{5.001}}_{\text{cerca de }5}}$start color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray

También vemos que cuando los valores de $x$x son mayores que $3$3, pero se acercan más y más, los valores de $f$f se acercan más y más a $5$5.

Observa que con lo que más nos acercamos a $5$5 es con $f(2.999)=4.999$f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 y $f(3.001)=5.001$f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001, que están a $0.001$0, point, 001 unidades de distancia de $5$5.

Podemos acercarnos más, si así lo deseamos. Por ejemplo, supongamos que queremos estar a $0.00001$0, point, 00001 unidades de $5$5; entonces podemos escoger $x=3.00001$x, equals, 3, point, 00001 y en ese caso $f(3.00001)=5.00001$f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.

Esto no tiene fin. Siempre podemos acercarnos más a $5$5. Pero ¡de eso se trata "infinitamente cerca"! Como "infinitamente cerca" no es posible en la realidad, lo que queremos decir con $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=5$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 es que no importa cuánto queramos acercarnos a $5$5, existe un valor de $x$x muy cercano a $3$3 que nos llevará ahí.

Si esto te parece difícil de captar, quizá esto te ayude: ¿cómo sabemos que hay un número infinito de números enteros diferentes? No es como si los contáramos todos y llegáramos a infinito. Sabemos que son infinitos porque para cada número entero hay uno que es aún mayor que ese. Siempre hay otro, y otro más.

En límites no queremos llegar a "infinitamente grande", sino ir "infinitamente cerca". Cuando escribimos $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=5$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos decir que siempre podemos estar más y más cerca de $5$5.

Ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

Analizemos $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que es el límite de la expresión $x^2$x, squared cuando $x$x se acerca a $2$2.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{\llap{-}2}$$\small{\llap{-}3}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD{y=x^2}$

Se grafica la función y = x cuadrada. El eje x va de menos 4 a 6. La gráfica consta de una curva. La curva es una parábola que empieza en (menos 3, 9), se mueve hacia abajo, pasa por (menos 1, 1) y por (0, 0), se mueve hacia arriba, pasa por (1, 1) y termina en (3, 9).

Podemos ver en la gráfica que cuando nos acercamos al punto donde $x=2$x, equals, 2, los valores de $y$y están más y más cerca de $4$4.

La gráfica de y = x cuadrada está animada con un punto que se mueve hacia arriba sobre la curva desde (1.5, 2.25) hasta (1.99, 3.96) y después se mueve hacia abajo sobre la curva desde (2.5, 6.25) hasta (2.01, 4.04).

Creado con Geogebra.

También podemos observar esta tabla de valores:

$x$x	$x^2$x, squared
$1.9$1, point, 9	$3.61$3, point, 61
$1.99$1, point, 99	$3.9601$3, point, 9601
$\gray{\underbrace{\color{black}{1.999}}_{\text{cerca de }2}}$start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{3.996001}}_{\text{cerca de }4}}$start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray

$x$x	$x^2$x, squared
$2.1$2, point, 1	$4.41$4, point, 41
$2.01$2, point, 01	$4.0401$4, point, 0401
$\gray{\underbrace{\color{black}{2.001}}_{\text{cerca de }2}}$start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray	$\gray{\underbrace{\color{black}{4.004001}}_{\text{cerca de }4}}$start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray

También podemos ver cómo nos podemos acercar a $4$4 tanto como queramos. Supongamos que queremos estar a menos de $0.001$0, point, 001 unidades de $4$4. ¿Cuál valor de $x$x cercano a $x=2$x, equals, 2 podemos escoger?

Intentemos $x=2.001$x, equals, 2, point, 001:

$2.001^2=4.004001$2, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001

Este valor está a más de $0.001$0, point, 001 unidades de $4$4. Bueno, intentemos $x=2.0001$x, equals, 2, point, 0001:

$2.0001^2=4.00040001$2, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001

¡Este valor ya está suficientemente cerca! Al intentar valores de $x$x que están más y más cerca de $x=2$x, equals, 2, podemos acercarnos aún más a $4$4.

En conclusión, $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2=4$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

Un límite debe ser el mismo desde ambos lados.

Si regresamos a $f(x)=x+2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 y $\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver cómo se aproxima a $5$5, ya sea que los valores de $x$x cerzcan hacia $3$3 (lo que se llama "acercarse por la izquierda"), o bien decrezcan hacia $3$3 (lo que se llama "acercarse por la derecha").

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD f$se acerca por la izquierdase acerca por la derecha

Se grafica la función f. El eje x va de 0 a 9. La gráfica es una recta que empieza en (0, 2) y se mueve hacia arriba, pasa a través de (2,4) y de (4, 6). Una flecha que apunta hacia arriba sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la izquierda. Una flecha que apunta hacia abajo sobre la recta en dirección de (3, 5) representa acercarse por la derecha.

Ahora considera, por ejemplo, la función $h$h. El valor de $y$y al que nos acercamos, cuando los valores de $x$x tienden a $x=3$x, equals, 3, depende de si hacemos esto desde la izquierda o desde la derecha.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD h$

Se grafica la función h. El eje x va de 0 a 9. La gráfica consta de 2 rectas. La primera recta empieza en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina en un círculo abierto en (3, 4). La segunda recta empieza en un círculo cerrado en (3, 6), se mueve hacia arriba y termina en (6, 9).

Cuando nos acercamos a $x=3$x, equals, 3 por la izquierda, la función tiende a $4$4. Al acercarnos a $x=3$x, equals, 3 por la derecha, la función tiende a $6$6.

$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$\small{1}$$\small{2}$$\small{3}$$\small{4}$$\small{5}$$\small{6}$$\small{7}$$\small{8}$$y$$x$$\blueD h$se acerca por la izquierdase acerca por la derecha

La gráfica de la función h tiene una flecha, que representa acercarse por la izquierda, apunta hacia arriba y a la derecha a lo largo de la primera recta en dirección del círculo abierto en (3, 4). Otra flecha, que representa acercarse por la derecha, apunta hacia abajo y a la izquierda a lo largo de la segunda recta en dirección del círculo cerrado en (3, 6).

Cuando una función no se aproxima al mismo valor por ambos lados, decimos que el límite no existe.

Artículo tomado de: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/a/limits-intro

    Estimación de valores  límites a partir de gráficas

Hay una diferencia importante entre el valor al que se aproxima una función, que llamamos límite, y el valor de la función en sí. Las gráficas son una buena herramienta para comprender esta diferencia.

Se grafica y se anima una función. El eje x va de 0 a 3. La gráfica es una curva que empieza en (0, 0.5), se mueve hacia abajo pasando por un círculo abierto aproximadamente en (2, 0.25). Un puntero mueve un punto sobre la curva en dirección del círculo abierto desde la izquierda y la derecha. Los valores se acercan a 0.25. En el círculo abierto, las coordenadas se muestran como (2, undefined), o bien, (2, indefinido).

desmos.com para inspeccionar el $\displaystyle{\lim_{x \to 2}{\dfrac{x-2}{x^2-4}}}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction

Observa cómo, al acercarnos más y más a x=2 tanto por la izquierda como por la derecha, parece que nos aproximamos a y=0.25.

En el ejemplo anterior, vemos que el valor de la función no está definido, pero el valor del límite es aproximadamente $0.25$0, point, 25.

Recuerda que estamos tratando con una aproximación, no con un valor exacto. Podemos acercarnos más para obtener una mejor aproximación si queremos.

Estimar valores de límites a partir de tablas 

Los límites son una herramienta para razonar acerca del comportamiento de funciones, y las tablas son una herramienta para razonar acerca de límites. Una cosa buena con las tablas es que podemos obtener estimaciones más precisas de límites que al mirar las gráficas.

Al usar una tabla para aproximar límites, es importante crearla de manera que simule el efecto de estar "infinitamente cerca" del valor deseado de $x$x.

Ejemplo

Imaginemos que nos piden aproximar este límite:

$\displaystyle{\lim_{x \to 2}{\dfrac{x-2}{x^2-4}}}$limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction

Nota: la función de hecho no está definida en $x=2$x, equals, 2, pues el denominador vale cero, pero el límite cuando $x$x se acerca a $2$2 sí existe.

Paso 1: queremos escoger un valor que sea un poco menor que $x=2$x, equals, 2 (es decir, un valor "a la izquierda" de $2$2, si pensamos en el eje $x$x estándar), así que podemos empezar con algo como $x=1.9$x, equals, 1, point, 9.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$2$2
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	indefinida

Paso 2: intenta algunos otros valores de $x$x, para simular la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2 desde la izquierda.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$1.99$1, point, 99	$1.9999$1, point, 9999	$2$2
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	$0.2506$0, point, 2506	$0.25001$0, point, 25001	indefinida

Observa cómo nuestros valores de $x$x $\{1.9, 1.99, 1.9999\}$left brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 9999, right brace realmente se "enfocan" alrededor de $x=2$x, equals, 2. Una elección más mala para los valores de $x$x hubiera sido con incrementos constantes, como $\{-1,0,1\}$left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, que no son muy útiles para pensar en estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2.

Paso 3: acercarse a $x=2$x, equals, 2 desde la derecha, tal como hicimos desde la izquierda. Queremos hacer esto de manera que simule la idea de estar infinitamente cerca de $x=2$x, equals, 2.

$x$x	$1.9$1, point, 9	$1.99$1, point, 99	$1.9999$1, point, 9999	$2.0001$2, point, 0001	$2.01$2, point, 01	$2.1$2, point, 1
$f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis	$0.2564$0, point, 2564	$0.2506$0, point, 2506	$0.25001$0, point, 25001	$0.24999$0, point, 24999	$0.2494$0, point, 2494	$0.2439$0, point, 2439

(Nota: hemos eliminado $x=2$x, equals, 2 de la tabla para ahorrar espacio, y también porque no es necesario para razonar acerca del valor del límite).

Si observamos la tabla que hemos creado, tenemos una evidencia muy fuerte de que el límite es $0.25$0, point, 25. Pero, si somos honestos, debemos admitir que se trata solamente de una aproximación razonable. No podemos decir con certeza que este es el valor real del límite.

DETERMINAR LÍMITES MEDIANTE SUS PROPIEDADES ALGEBRÁICAS

Propiedades de los límites

Foto tomada de: https://calculobelindapastranaequipodebetty.files.wordpress.com/2011/10/propiedades-de-los-limites.png

Propiedades de los límites trigonométricos

Foto tomada de: https://sites.google.com/site/disenoyconstrucciondepuentes1/limites-y-continuacon/5-limites-trigonomtricos

DETERMINAR LÍMITES MEDIANTE SUS PROPIEDADES ALGEBRÁICAS

Límites por sustitución directa

Como su nombre lo indica, en este tipo de límites solo tendremos que evaluar la función, es decir, reemplazar el valor de x en la función que es continua porque al ser un límite que se encuentra sustituyendo directamente su valor tiene que ser continua.

DETERMINAR LÍMITES MEDIANTE MANIPULACIÓN ALGEBRÁICA

Límites por medio de factorización

Límites por medio de racionalización

Límites de funciones trigonométricas

APROVECHO PARA COMPARTIRLES ESTE DIAGRAMA CREADO POR KHAN ACADEMY DONDE SE NOS FACILITARÁ LA RESOLUCIÓN DE LÍMITES.

Tomado de: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Las discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidad evitable

En este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a.

También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y , pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite.

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Discontinuidad de salto

Existen los límites laterales pero son distintos.

Discontinuidad inevitable

Al menos uno de los límites laterales no existe.

Imágenes tomadas de: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/discontinuidad-evitable/

LÍMITES INFINITOS

Ejemplos de límites infinitos

CONCLUSIONES

• En este blog podemos concluir y resaltar la importancia que tienen los límites como tema base del cálculo, ya que nos servirán en un futuro para su aplicación en el transcurso de la carrera porque más adelante nos toparemos con asignaturas como resistencias de materiales donde se aplican mucho los conocimientos que nos ofrece el cálculo.

• Podemos concluir que los límites son indispensables en la carrera de Ingeniería mecánica porque sin estos no podríamos evaluar en ciertos tramos la función de algo ni mucho menos hacer estimaciones. Esto se puede relacionar con procesos mecánicos, análisis estructural y mantenimiento de equipos mecánicos.

• También podemos resaltar que los límites son importantes a la hora de definir conceptos matemáticos como la derivación, ya que este es muy fundamental para el estudio del cálculo diferencial e integral.

HIPERVINCULO: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/a/limits-intro?modal=1